La prova del nove

a cura del prof.  Spadari Amedeo

Introduzione

Si usa la prova del 9 per controllare l'esatezza di una moltiplicazione tra numeri relativamente grandi quando i calcoli sono fatti a mano.
Se nella prova l' esito è negativo i calcoli sono sbagliati ed occorre rivederli nella moltiplicazione,se l' esito è positivo il  risultato è corretto a meno di un multiplo di 9.
Pochè sbagliare di un multiplo di 9 una moltiplicazione è abbastanza difficile, si può dire che la prova torna ed il  risultato calcolato sia corretto.

1. Procedura
1.1 per le moltiplicazioni
1.2 per le divisioni intere
1.3 per le divisioni con resto

2. Significato prova del nove
Classi di resto modulo 9

3. Il perché proprio del  9
Proprietà del numero 9 nel nostro sistema di numerazione posizionale decimale

CAPITOLO 1

1.1  Come si procede nel calcolo della prova del 9 per le moltiplicazioni

Esempio

54.178 x 123.456  = 6.68.599.168
Il risultato sarà corretto? Si esegua la prova del 9.

Si tracci una croce e si mettamo i seguenti numeri interi ad una cifra:

in alto a sinistra: del primo fattore si sommino le cifre  (5+4+1+7+8=25=(2+5=7) cioè  fino a quando non resta un numero ad una sola cifra

in alto a destra analogamente si faccia lo stesso procedimento con il secondo fattore (1+2+3+4+5+6=21 =2+1=3)

n basso a sinistra: si moltiplicano i 2 numeri in alto sulla croce e si riduce il risultato ad una sola cifra,  (7 x 3 =21= 2+1=3)
 

Infine in basso a destra si metta la somma del risultato dell'operazione (6+6+8+8+5+9+9+1+6+8=12 4+2=3)
 

Se i due numeri in basso sono uguali la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo.

N.B.
Se la prova è negativa la moltiplicazione è per certo sbagliata, mentre se è positiva il risultato trovato potrebbe essere corretto oppure differire  per un multiplo di 9.
 

1.2  Calcolo della prova del 9 per le divisioni intere

Dal momento che dividendo : divisore = quoziente
Segue che divisore x quoziente = dividendo
Per cui abbiamo:

1.3  Calcolo della prova del 9 per le divisioni con resto

Dal momento che dividendo : divisore = quoziente con resto non 0
Segue che divisore x quoziente + resto = dividendo
Per cui abbiamo:

Esempio

865 : 21 = 41 con resto 4

CAPITOLO 2

Significato prova del 9 in particolare per le moltiplicazioni

Quando si fa la prova del 9 occorre basarsi sulle "classi di resto".

Normalmente i numeri interi positivi si studiano disposti su una semiretta orientata.

Si ha dunque una situazione del tipo:

|----|-----|-----|-----|----|-----|-----|-----|-----|----|-----|------|---------->
0.. 1... 2.... 3.... 4.... 5... 6... 7.... 8.... 9.. 10.. 11.. 12 ...

Alcune semplici considerazioni a mò di chiarimento

Posizionando invece i numeri a mò di orologio con  nove segni 0,1,2,3,4,5,6,7,8

si avrà una situazione del tipo:

Che cosa si ha  nei cerchi dei varie segni?

Nel cerchio del segno dello 0 si ha all'inizio 0 ,poi dopo il primo giro 9,dopo il secondo giro 18 e via dicendo ...
Nel cerchio del segno dello 1 si ha all'inizio 1 ,poi dopo il primo giro 10,dopo il secondo giro 19 e via dicendo ...
Nel cerchio del segno dello 0 si ha all'inizio 2 ,poi dopo il primo giro 11,dopo il secondo giro 20 e via dicendo ...
.
.
.

Nel cerchio del segno dello 8 si ha all'inizio 8 ,poi dopo il primo giro 17,dopo il secondo giro 26 e via dicendo ...


Nel cerchio del segno dello 1 ci sono tutti i numeri che divisi per 9 danno resto 1 ( tornerà utile per la divisione).
Nel cerchio del segno dello 2 ci sono tutti i numeri che divisi per 9 danno resto 2 ( tornerà utile per la divisione).

E così via.

Presa un cerchio a caso e presi 2 numeri a caso da esso, la differenza tra questi 2 numeri è sempre un multiplo di 9.

Presa un cerchio a caso e preso a caso un numero, la somma delle sue cifre è il numero rappresentante del cerchio eccetto il cerchio dello 0 nel quale tutti i numeri (0 escluso) danno per somma 9.
 

Applichiamo queste considerazioni all'addizione.
 

Come si fa 4+2 sulla semiretta?
Si parte dall'origine e si cammina di tanti passi quanto indicati dal primo addendo; poi ci si muove ancora del numero di passi indicati dal secondo addendo. Alla fine ci si ferma, alziamo gli occhi sul "cartello" che ci indica (in buona sostanza) quanti passi ci siamo allontanati dall'origine cioè 6 passi.

|----|-----|-----|-----|----|-----|-----|-----|-----|----|-----|------|---------->
0 .......................4...|
...............................|----2----|

Analogamente anche nel modo di rappresentazione dell'orologio si parte dall'origine (cerchio dello 0), si fanno 4 passi in senso orario e poi altri 2 e anche qui vediamo che si sono fatti 6 passi dall'origine.

Proviamo con 8 + 6
 

Dunque 8+6= 14 = 5

In realtà si sono fatti un giro  ( una novina ) + 5 passi dall'origine.


Si osserva immediatamente che sommando ripetutamente le cifre di un numero  nel nostro sistema di numerazione decimale , fino a ridurlo ad un numero di una cifra soltanto, si ottiene il resto di quel numero nella sua divisione per 9

N.B. il numero è dato dal numero di giri x 9 + il resto

Deduzione per le divisioni

Con la prova del 9 si calcola il resto della divisione per 9 del primo fattore, il resto della divisione per 9 del secondo fattore, moltiplichiamo questi 2 numeri e sommando le cifre del risultato, si ottiene il resto della divisione per 9 che il risultato corretto deve avere.

Poi si calcola il resto della divisione per 9 del risultato che si è calcolato.

A questo punto se questi 2 numeri sono diversi, la divisione è errata, mentre se i numeri sono uguali, la divisione è corretta a menodi  9, ovvero differiscono tra loro per un multiplo di 9.

CAPITOLO 3

Il perché proprio del 9

N.B. Si è visto che la somma delle cifre di un qualsiasi numero dia come risultato il suo resto nella divisione per 9.

Ciò avviene perché nel nostro sistema di numerazione è decimale posizionale, 9 è il maggiore tra i numeri che si possono scrivere con una cifra soltanto.

Si osservi che la divisione di 10 per 9 dà resto 1 (10=9+1 e 9 è divisibile per 9)

Analogamente la divisione di 100 per 9 (100=99+1 e 99 è divisibile per 9), di 1000 per 9 (1000=999+1), e così via.

La somma delle cifre di 10, 100, 1000, è sempre 1.
Ma anche che 20, 200, 2000, ecc, hanno resto 2 nella divisione per 9.
Anche per 30, 300, 3000.

Dato un qualunque numero, è possibile determinare il suo resto nella divisione per 9 semplicemente sommando le sue cifre.
 

La prova del 9 è molto semplice determinare il resto della divisione di un numero per 9 (basta sommare le sue cifre ripetutamente finché non resta un numero ad una sola cifra), in più "sbagliare" di un multiplo di 9 è cosa abbastanza rara ed è chiaramente pratica nel sistema di numerazione posizionale decimale.
 

N.B. La prova dell' 6 o dell' 8  è ugualmente fattibile nei sistemi di numerazione esadecimale e ottale , a Voi provare.